$\int_{0}^{1} \left( \prod_{r=1}^{n} (x+r) \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक गैसीय मिश्रण में आयतन के अनुसार $50\%$ हीलियम और $50\%$ मीथेन है। इस गैसीय मिश्रण में मीथेन का भारानुसार प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

एक कंपन चुंबकत्वमापी (vibration magnetometer) में दो समान छड़ चुंबक एक-दूसरे के ऊपर इस प्रकार रखे गए हैं कि वे लंबवत हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र में दोलन का आवर्तकाल $2^{5/4} \ s$ है। यदि एक चुंबक को हटा दिया जाए और दूसरा चुंबक उसी क्षेत्र में दोलन करे,तो सेकंड में आवर्तकाल क्या होगा?

$\frac{\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}}}{\sqrt{8+\sqrt{28}}-\sqrt{8-\sqrt{28}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$18 \ m^2$ क्षेत्रफल वाली कागज की एक आयताकार शीट पर एक पोस्टर छापा जाना है। ऊपर और नीचे $75 \ cm$ और किनारों पर $50 \ cm$ का मार्जिन छोड़ा जाना है। तो शीट के आयाम यानी ऊंचाई और चौड़ाई क्या होंगे ताकि छपाई के लिए उपलब्ध स्थान अधिकतम हो?

यदि $a > 0$ और $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।